서문
고유벡터와 직교는 선형대수학에서 매우 중요한 개념입니다. 이 블로그 글에서는 고유벡터와 직교에 대해 자세히 알아보고 예제를 통해 이해를 돕도록 하겠습니다.
고유벡터와 고유값
고유벡터는 선형 변환에서 중요한 역할을 하는 벡터입니다. 주어진 선형 변환에 대해 벡터가 자기 자신의 상수배로 변환되는 경우, 이러한 벡터를 고유벡터라고 합니다. 고유벡터와 연관된 상수를 고유값이라고 부릅니다.
수학적으로 표현하면, 선형 변환 T에 대해 벡터 v가 다음과 같은 관계를 만족한다면,
T(v) = λv
여기서 T(v)는 v를 선형 변환한 결과이고, λ는 v의 고유값입니다. 이때 v를 고유값 λ에 대한 고유벡터라고 부릅니다.
고유벡터와 고유값은 행렬의 고유값과 고유벡터로 표현되기도 합니다. 고유벡터는 행렬 A에 대해 다음 연립 방정식을 만족하는 벡터 v입니다.
Av = λv
이때, A는 n차 정방행렬, v는 n차원 벡터, λ는 v의 고유값입니다.
직교
다음으로 직교에 대해 살펴보겠습니다. 직교는 벡터 간의 수직 관계를 의미합니다. 벡터 A와 벡터 B가 수직이라면, 내적(A・B)은 0입니다. 내적이 0이면 두 벡터는 직교합니다.
수학적으로 표현하면, 벡터 A와 벡터 B가 직교한다면,
A・B = 0
라는 관계를 가집니다.
직교는 선형 대수학에서 두 가지 벡터의 수직 관계를 의미하는 것뿐만 아니라, 통계학, 신호 처리, 기하학 등 다양한 분야에서도 사용되는 중요한 개념입니다.
고유벡터와 직교의 관계
고유벡터와 직교가 서로 어떤 관계를 가지는지 알아보겠습니다. 고유값이 서로 다른 두 개의 고유벡터는 항상 직교합니다. 즉, 고유값이 다르면 해당 고유벡터들은 수직 관계를 가집니다.
수학적으로 설명하면, 행렬 A의 고유값이 다르다면 고유값에 대응하는 고유벡터들은 서로 수직합니다. 따라서 행렬 A의 고유값과 고유벡터를 비교하여 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다고 할 수 있습니다.
예제
이해를 돕기 위해 간단한 예제를 통해 고유벡터와 직교에 대해 알아보겠습니다.
예를 들어, 다음과 같은 2x2 행렬 A가 주어졌다고 가정해봅시다.
A = [[2, 1], [1, 3]]
행렬 A의 고유값과 고유벡터를 구해보도록 하겠습니다.
먼저 고유벡터를 구하기 위해 다음과 같은 연립 방정식을 풀 수 있습니다.
Av = λv
여기서 λ는 고유값입니다. 이 방정식을 푸는 과정을 거쳐 다음과 같은 고유벡터를 구할 수 있습니다.
v1 = [1, -1]
v2 = [1, 1]
이제 고유값을 구하기 위해 특성 방정식인 det(A - λI) = 0을 풀어야 합니다. 여기서 I는 단위 행렬입니다.
det(A - λI) = (2-λ)(3-λ) - 1 * 1 = λ2 - 5λ + 5 = 0
위 식을 풀면 λ1 ≈ 0.76, λ2 ≈ 4.24가 됩니다.
따라서, 행렬 A의 고유값은 λ1 ≈ 0.76, λ2 ≈ 4.24이며, 이에 대응하는 고유벡터는 v1 = [1, -1], v2 = [1, 1]입니다.
두 개의 고유벡터 v1과 v2는 서로 직교하므로, 고유벡터와 직교 관계를 만족합니다.
결론
이 블로그 글에서는 고유벡터와 직교에 대해 알아보았습니다. 고유벡터는 선형 변환에서 자기 자신의 상수배로 변환되는 벡터이며, 고유값은 해당 고유벡터에 연관된 상수입니다. 직교는 벡터 간의 수직 관계를 의미하며, 내적이 0인 경우 두 벡터는 직교합니다. 또한, 고유값이 다른 고유벡터들은 항상 직교합니다.
고유벡터와 직교는 다양한 분야에서 많이 사용되는 중요한 개념이므로, 선형 대수학을 공부하는 사람들에게 유용한 지식입니다. 예제를 통해 고유벡터와 직교를 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다.