고유값과 고유벡터
수학에서 고유값과 고유벡터는 선형 변환의 특성을 분석하는 데에 중요한 도구입니다. 행렬의 고유벡터는 해당 행렬에 의해 변환되어도 방향이 변하지 않는 벡터를 의미하며, 고유값은 이러한 변환에서 벡터가 늘이는 정도를 나타냅니다. 고유벡터와 고유값은 행렬의 크기나 형태에 영향을 받지 않고, 행렬의 변환만으로 정해지는 것이 특징입니다.
3x3 행렬의 고유벡터 구하기
3x3 행렬의 고유벡터를 구하는 과정은 다음과 같습니다:
- 고유벡터를 찾기 위해, 주어진 3x3 행렬 A에 대한 특성 방정식을 세웁니다. 특성 방정식은 다음과 같이 표현됩니다:
Ax = λx
여기서, x는 고유벡터, λ는 고유값입니다.
- 주어진 행렬 A의 특성 방정식을 만족하는 고유값을 찾습니다. 이는 특성 방정식을 풀어 고유값을 구함으로써 이루어집니다.
- 각각의 고유값에 대해, 연립 방정식 (A - λI)x = 0을 푸는 것을 통해 고유벡터를 구합니다. 여기서, I는 단위 행렬을 의미합니다.
- 구한 고유값과 해당하는 고유벡터를 쌍으로 나타냅니다.
예제
이해를 돕기 위해, 다음과 같은 3x3 행렬에 대해 고유벡터를 구하는 예제를 살펴보겠습니다:
A = [1, 2, 1; 4, 3, 2; 2, 2, 1]
첫 번째 단계로, 주어진 행렬 A에 대한 특성 방정식을 세워보겠습니다:
Ax = λx
특성 방정식을 풀면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다:
(A - λI)x = 0
두 번째 단계로, 특성 방정식의 해를 찾을 때 사용하는 방법 중 하나는 행렬 A에서 λI를 빼고, 이에 대한 행렬식을 구하는 것입니다. 이렇게 하면 다음과 같은 특성 다항식이 얻어집니다:
(1-λ)(3-λ)(2-λ) - (2(4-3λ) - 2(2-λ) + (2-λ)(4-3λ)) = 0
이 특성 다항식을 푸는 것을 통해 고유값을 구할 수 있습니다. 위의 식을 정리하면 다음과 같이 됩니다:
λ^3 - 5λ^2 + 7λ - 3 = 0
여기서, λ = 1, 2, 3이라는 세 개의 고유값을 얻을 수 있습니다.
세 번째 단계로, 구한 각각의 고유값에 대해 연립 방정식을 풀어 고유벡터를 구하는 것입니다. 이를 위해 다음과 같은 식을 풀어야 합니다:
(A - 1I)x = 0 (첫 번째 고유값에 대한 연립 방정식)
(A - 2I)x = 0 (두 번째 고유값에 대한 연립 방정식)
(A - 3I)x = 0 (세 번째 고유값에 대한 연립 방정식)
위의 연립 방정식을 각각 풀면 다음과 같은 고유벡터를 얻을 수 있습니다:
x1 = [1; -2; 1], x2 = [2; -1; 1], x3 = [1; 1; 0]
따라서, 주어진 3x3 행렬의 고유값과 고유벡터는 다음과 같습니다:
고유값: λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
고유벡터: x1 = [1; -2; 1], x2 = [2; -1; 1], x3 = [1; 1; 0]
결론
3x3 행렬의 고유벡터를 구하는 과정은 특성 방정식을 세우고, 특성 다항식을 풀어 고유값을 구한 후, 고유값에 대한 연립 방정식을 풀어 고유벡터를 구하는 단계로 이루어집니다. 고유벡터와 고유값은 선형 변환에서 중요한 역할을 하며, 다양한 분야에서 응용됩니다.