개요
고유벡터는 선형 대수학에서 매우 중요한 개념입니다. 이 블로그에서는 고유벡터의 개념과 고유값과의 관계, 계산 방법 등에 대해 알아보겠습니다.
고유벡터란?
고유벡터는 선형 변환에 의해 방향이 변하지 않는 벡터로, 해당 변환의 특성을 나타냅니다. 즉, 행렬이나 변환에 의해 스케일만 바뀌고 방향은 그대로 유지되는 벡터를 고유벡터라고 합니다. 고유벡터는 행렬의 고유값과 관련이 있으며, 행렬 A에 대하여 다음과 같은 선형방정식을 만족시키는 벡터 x를 고유벡터라고 합니다.
Ax = λx
위 식에서 A는 정방행렬, λ는 스칼라 값이며 고유값이라고 합니다. 이 식을 만족시키는 고유벡터 x를 찾는 것이 고유벡터의 구하기의 목표입니다.
고유벡터 구하기 방법
고유벡터를 구하는 방법에는 다양한 방법이 존재합니다. 가장 일반적인 방법은 다음과 같습니다:
- 고유방정식 구하기
정방행렬 A의 고유값을 구하기 위해선, 다음 식을 풀어야 합니다:
|A - λI| = 0
여기서 I는 항등행렬을 나타내며, 결국 A - λI의 행렬식이 0이 되는 λ 값을 구하게 됩니다.
- 고유방정식 해 구하기
주어진 λ 값을 대입하여 다음 방정식을 풀면, 고유 벡터를 얻을 수 있습니다:
(A - λI)x = 0
우변은 영벡터가 되어야 하므로, x는 행렬 (A - λI)의 null space에 속하는 벡터입니다.
- 고유벡터 정규화
구한 고유벡터는 크기에 대한 정보를 나타내지 않을 수 있으며, 이를 방지하기 위해 벡터의 크기를 정규화할 수 있습니다. 즉, 고유벡터의 크기를 1로 정규화하여 표현하는 것입니다.
아래 예제를 통해 고유벡터를 구하는 과정을 살펴보겠습니다.
예제
다음과 같은 행렬 A에 대하여 고유벡터를 구해보겠습니다.
A = [3, 1; 1, 3]
- 고유방정식 구하기
|A - λI| = |[3-λ, 1; 1, 3-λ]| = (3-λ)(3-λ) - 1 = λ² - 6λ + 8 = 0
위 식을 풀면 λ = 2, 4의 두 가지 고유값을 얻게 됩니다.
- 고유방정식 해 구하기
첫 번째 고유값 λ = 2를 대입하여 식 (A - λI)x = 0을 풀면,
[1, 1; 1, 1]x = 0
x의 가능한 해는 x = [t, -t] (t는 임의의 실수)입니다. 이를 정규화하여 고유벡터를 구할 수 있습니다.
두 번째 고유값 λ = 4에도 같은 과정을 거치면, x = [t, t](t는 임의의 실수)인 고유벡터를 얻을 수 있습니다.
위 예제에서는 고유벡터가 간단한 형태로 나타났지만, 복잡한 행렬이나 고유값에 따라 고유벡터의 형태가 달라질 수 있습니다.
결론
고유벡터는 선형 대수학에서 중요한 개념으로, 변환에 의해 방향이 변하지 않는 벡터를 의미합니다. 고유벡터는 행렬의 고유값과 관련이 있으며, 고유벡터를 구하기 위해 고유방정식을 풀고 적절한 정규화 과정을 거칩니다. 고유벡터는 다양한 응용 분야에서 사용되며, 선형 시스템, 데이터 분석, 이미지 처리 등에 활용됩니다.
이 블로그를 통해 고유벡터의 개념과 구하기 방법에 대해 이해할 수 있었기를 바랍니다. 예제를 통해 실제 계산 과정을 살펴봄으로써 이해도를 높이는 데 도움이 되었을 것입니다.