고유벡터와 고유값은 선형대수학에서 중요한 개념 중 하나입니다. 행렬의 고유벡터는 해당 행렬에 의해 변하지 않는 벡터를 나타내며, 고유값은 이 벡터가 변하는 크기를 의미합니다. 이번 블로그에서는 고유벡터 중에서 특별한 경우인 고유벡터 중근에 대해 알아보도록 하겠습니다.
고유벡터와 고유값
먼저 우리는 고유벡터와 고유값의 개념을 이해해야 합니다. 행렬 A가 주어졌을 때, A와 고유벡터를 곱한 결과가 고유값과 고유벡터의 곱으로 나타나는 관계를 가지고 있습니다. 행렬 A에 대한 고유벡터는 A의 선형변환에 의해 방향이 변하지 않는 벡터이며, 고유값은 해당 벡터의 크기 변화를 의미합니다.
고유벡터는 다음 식을 만족합니다.
An = λn
여기서 A는 행렬, n은 고유벡터, λn은 고유값을 나타냅니다.
고유벡터 중근
고유벡터 중근은 특이한 경우로, 고유값이 중복되는 경우입니다. 즉, 한 행렬이 여러 개의 동일한 고유값을 가지고 있는 경우에 발생합니다. 이러한 경우에는 해당 고유값에 대한 고유벡터가 여러 개 존재할 수 있습니다. 우리는 이러한 고유벡터들을 고유벡터 중근이라고 부릅니다.
고유벡터 중근의 중요한 특징 중 하나는 모든 고유벡터가 선형 독립적이지 않을 수 있다는 점입니다. 예를 들어, 행렬 A가 2x2 행렬이고 두 개의 고유값을 가진다고 가정해봅시다. 만약 첫 번째 고유값에 대한 고유벡터가 하나의 차원만을 가질 때, 두 번째 고유값의 고유벡터는 해당 차원을 가지는 첫 번째 고유벡터와 linearly dependent한 형태일 수 있습니다.
다시 말해, 고유값이 중복되는 경우에는 해당 고유값에 대응하는 차원의 벡터 공간이 늘어날 수 있으며, 이로 인해 linearly dependent한 고유벡터들이 나타날 수 있습니다. 그렇다면 이런 상황에서 어떻게 고유벡터를 선택해야 할까요?
고유벡터 중근 선정 방법
고유벡터 중에 어떤 것을 선택해야 할까요? 이러한 선택은 다양한 방법으로 이루어질 수 있습니다. 일반적으로는 다음과 같은 방법들이 사용됩니다.
- 백터의 길이(Length): 고유벡터의 길이가 1이 되도록 정규화하는 방법입니다.
- 직관적인 선택: 특정한 상황에서 직관적으로 선택하는 방법입니다.
- 연산적인 선택: 특정한 연산을 사용하여 선택하는 방법입니다. 예를 들어, 행렬 A의 rank를 고려하여 고유벡터를 선택하는 방법이 있습니다.
이러한 방법들은 경우에 따라 다르게 적용될 수 있으며, 보통 선택한 방법에 따라서 고유벡터 중근이 다를 수 있습니다.
예제
이해를 돕기 위해 예제를 살펴보겠습니다.
아래의 행렬 A는 고유벡터 중근을 가집니다. 여기서는 위에서 언급한 첫 번째 방법을 사용하여 고유벡터를 선택해보도록 하겠습니다.
A = [ [ 2, 1 ], [ 0, 2 ] ]
먼저, 고유벡터는 다음과 같은 식을 만족해야 합니다.
An = λn
행렬 A를 이용하여 고유값을 구하면 다음과 같습니다.
An = λn
[ [ 2, 1 ], [ 0, 2 ] ] X n = λn X n
위 식을 풀면 다음과 같은 특성방정식을 얻을 수 있습니다.
det(A - λI) = 0
여기서 I는 단위 행렬입니다. 따라서, 위의 식에 대입하여 행렬 A의 고유값을 구하면 다음과 같습니다.
det([ [ 2-λ, 1 ], [ 0, 2-λ ] ]) = 0
(2-λ)(2-λ) - (0)(1) = 0
λ^2 - 4λ + 4 = 0
(λ - 2)^2 = 0
λ = 2 (중근)
따라서, 행렬 A의 고유값은 2입니다. 이제 고유값에 대응하는 고유벡터를 구해보도록 하겠습니다.
([ [ 2, 1 ], [ 0, 2 ] ] - 2I) X n = 0
[ [ 0, 1 ], [ 0, 0 ] ] X n = 0
[0, 1] X n = 0
위의 식을 풀면 다음과 같은 고유벡터를 얻을 수 있습니다.
n = [1, 0]
따라서, 행렬 A의 고유값 2에 대응하는 고유벡터는 [1, 0]입니다.
이와 같은 방법으로 행렬 A의 다른 고유벡터도 구할 수 있습니다.
결론
고유벡터 중근은 고유값이 중복되는 경우에 발생하며, 해당 고유값에 대응하는 여러 개의 고유벡터를 포함합니다. 하지만, 이러한 고유벡터들은 선형 독립적이지 않을 수도 있습니다. 따라서, 고유벡터 중근을 다루는 경우에는 고유벡터 선택 방법에 주의해야 합니다.
위에서 소개한 예제를 통해 고유벡터와 고유값, 그리고 고유벡터 중근에 대한 이해를 높일 수 있었기를 바랍니다. 고유벡터 중근은 실제 응용 분야에서 널리 사용되며, 선형대수학의 매우 중요한 개념 중 하나입니다.