대각화 예제

대각화 예제

대각화는 선형대수학에서 중요한 개념 중 하나입니다. 이번 블로그에서는 대각화에 대한 예제를 다루어보겠습니다.

예제 1: 2x2 행렬

 

먼저 2x2 행렬의 예제를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 행렬 A가 주어졌다고 가정해봅시다:

A = [3   2]
    [2   3]

A의 대각화 가능 여부를 확인하기 위해, 먼저 A의 고유값을 찾아야 합니다. 고유값은 다음 방정식을 만족하는 λ입니다:

det(A - λI) = 0

여기서 I는 항등행렬이고, det()는 행렬의 행렬식을 의미합니다. 따라서, 우리는 다음 방정식을 풀어 고유값을 찾아야 합니다:

⟹ (3 - λ)(3 - λ) - 2 * 2 = 0
⟹ λ^2 - 6λ + 5 = 0

위의 방정식을 풀면 λ = 1, 5가 됩니다. 이들은 A의 고유값입니다. 이제 우리는 주어진 행렬의 대각화 가능 여부를 판단하기 위해 A의 고유벡터를 찾아야 합니다.

λ = 1에 대한 고유벡터를 구하려면, 다음 방정식을 풀어야 합니다:

(A - λI)v = 0

여기서 v는 고유벡터입니다. 이 방정식을 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

⟹ [2      2]v = 0
⟹ 2v1 + 2v2 = 0
⟹ v1 = -v2

v를 구성하는 두 요소를 임의의 변수로 나타내고, 이들 사이의 비율을 사용하여 v를 표현할 수 있습니다. 예를 들어, v2 = 1로 설정할 경우, v1 = -1이 됩니다. 따라서 고유벡터 v1 = -1, v2 = 1을 얻을 수 있습니다.

위와 같은 방식으로 λ = 5에 대한 고유벡터를 구하면, v1 = 1, v2 = 1입니다. 이제 우리는 A를 대각화할 수 있습니다.

대각화는 다음과 같이 정의됩니다:

A = PDP^(-1)

여기서 D는 A의 고유값을 대각 성분으로 가지는 대각행렬이고, P는 A의 고유벡터를 열벡터로 가지는 행렬입니다. 간단히 말해서, A를 D로 변환하기 위해 P와 P^(-1)을 사용하는 것입니다.

따라서, 예제에서 주어진 행렬 A의 대각화 결과는 다음과 같습니다:

A = [3   2] × [1      0] × [1/2   1/2]

마지막으로, P와 P^(-1)를 통해 관련 연산을 수행하여 행렬 A를 대각 행렬 D로 변환할 수 있습니다.

예제 2: 3x3 행렬

이제 3x3 행렬에 대한 예제를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 행렬 B가 주어졌다고 가정해봅시다:

B = [2   0   0]
    [1   -1   0]
    [0   2   -3]

위와 같은 행렬 B의 고유값과 고유벡터를 찾기 위해 방정식을 풀어보면 다음과 같습니다:

λ = 2에 대한 고유벡터를 구하기 위해, 다음 방정식을 풀어야 합니다:

(B - λI)v = 0

이 방정식을 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

⟹ [0   0   0]v = 0
⟹ 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0

위의 결과로부터, 우리는 v1, v2, v3에 대해 다음 식을 얻을 수 있습니다: 0 = 0. 즉, v1, v2, v3는 모두 자유롭게 설정할 수 있습니다. 예를 들어, v1 = 1, v2 = 0, v3 = 0으로 설정하면 고유벡터 v를 구할 수 있습니다.

마찬가지로, λ = -1에 대한 고유벡터를 구하면 다음 결과를 얻을 수 있습니다: v1 = 0, v2 = 1, v3 = 0.

마지막으로, λ = -3에 대한 고유벡터를 구하면 v1 = 0, v2 = 0, v3 = 1입니다.

따라서, 행렬 B의 대각화 결과는 다음과 같습니다:

B = [2   0   0] × [1   0   0] × [0   1   0] × [0   0   1] × [0   0   1] × [0   0   1]

위와 같은 결과를 통해 행렬 B를 대각 행렬로 변환할 수 있습니다.

이번 블로그에서는 대각화에 대한 예제를 살펴보았습니다. 대각화는 선형대수학에서 매우 중요한 개념이며, 다양한 응용 분야에서 유용하게 활용됩니다. 예제를 통해 대각화의 개념과 과정을 잘 이해하시길 바랍니다. 추가적인 문제와 예제를 해결해보면서 선형대수학을 더욱 실력있게 다루실 수 있을 것입니다.