고유벡터란 무엇인가?
고유벡터(eigenvector)는 선형 변환(linear transformation)을 일부 축소시켜도 방향이 변하지 않고, 모든 고윳값(eigenvalue)에 영향을 받아 크기만 변하는 특이한 벡터입니다.
선형 변환이란 벡터를 다른 벡터로 변환하는 작업을 말하며, 예를 들어 2차원 공간에서의 회전, 축소, 확장 등이 여기에 해당합니다. 이때, 고유벡터는 이러한 변환을 수행하는 축의 방향을 나타내는 것으로 볼 수 있습니다.
고유벡터의 중요성
고유벡터는 선형 변환의 특성을 파악하는 데 중요한 역할을 합니다. 선형 변환은 다양한 분야에서 활용되는데, 컴퓨터 그래픽스, 자연어 처리, 회로 설계, 운영 연구 등 다양한 분야에서 사용됩니다.
고유벡터를 이해하고 구하는 것은 이러한 선형 변환을 더 잘 이해하고, 문제를 해결하는데 도움을 줄 수 있습니다. 고유벡터를 통해 선형 변환에 의해 어떤 벡터들이 어떻게 영향을 받는지 알 수 있고, 이를 기반으로 좀 더 효율적이고 최적화된 솔루션을 찾을 수 있습니다.
고유벡터 구하기
고유벡터는 고윳값과 함께 구해야 합니다. 고윳값은 해당 선형 변환에 대한 크기 변화율을 나타내는 값으로, 고윳값과 고유벡터는 짝을 이룹니다.
고유벡터를 구하는 과정을 하나씩 알아보겠습니다.
Step 1: 고유방정식 세우기
고유벡터를 구하기 위해서는 먼저 고유방정식을 세워야 합니다. 고유방정식은 다음과 같이 표현됩니다.
(A - λI)v = 0
여기서 A는 주어진 선형 변환의 행렬 표현, λ는 고윳값, I는 단위 행렬입니다. v는 구하고자 하는 고유벡터입니다.
Step 2: 고윳값 구하기
고유방정식을 풀면서 고윳값을 구합니다. 이는 행렬 A에서 λ를 구하는 것으로, A - λI가 역행렬이 없는 특성 방정식을 만족해야 합니다.
Step 3: 고유벡터 구하기
구한 고윳값을 다시 고유방정식에 대입하여 고유벡터 v를 구합니다. 이때, (A - λI)v = 0을 만족하는 벡터 v가 우리가 찾는 고유벡터입니다.
위의 세 단계를 순서대로 진행하여 고유벡터를 구할 수 있습니다. 이때, 고윳값과 고유벡터의 짝은 무한히 많을 수 있으며, 고윳값이 중복되는 경우도 있을 수 있습니다.
예제와 함께 고유벡터 구하기
이제 예제를 통해 실제로 고유벡터를 구하는 과정을 살펴보겠습니다.
예제 1
다음과 같은 행렬 A에 대한 고유벡터를 구해봅시다.
A = [[1, 2], [3, 4]]
Step 1: 고유방정식 세우기
(A - λI)v = 0
([[1, 2], [3, 4]] - λ[[1, 0], [0, 1]])v = 0
[[1 - λ, 2], [3, 4 - λ]]v = 0
Step 2: 고윳값 구하기
(1 - λ)(4 - λ) - 6 = 0
λ^2 - 5λ - 2 = 0
고윳값: λ_1 ≈ 5.79, λ_2 ≈ -0.79
Step 3: 고유벡터 구하기
λ_1 ≈ 5.79일 때, (A - λ_1I)v = 0
[[1 - 5.79, 2], [3, 4 - 5.79]]v = 0
[[-4.79, 2], [3, -1.79]]v = 0
v_1 ≈ [[0.45], [1]]
λ_2 ≈ -0.79일 때, (A - λ_2I)v = 0
[[1 + 0.79, 2], [3, 4 + 0.79]]v = 0
[[1.79, 2], [3, 4.79]]v = 0
v_2 ≈ [[-1.15], [1]]
따라서, 고유벡터는 v_1 ≈ [[0.45], [1]]와 v_2 ≈ [[-1.15], [1]]입니다.
정리
고유벡터는 선형 변환의 축의 방향을 나타내는 벡터로, 선형 변환에 의해 크기만 변화하고 방향은 변하지 않습니다. 고유벡터는 선형 변환의 특성을 파악하고 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다.
고유벡터를 구하기 위해서는 고윳값을 먼저 구한 후, 고유방정식을 풀어 고유벡터를 구합니다. 고유벡터는 고윳값과 짝을 이루며, 여러 개의 고유벡터가 존재할 수 있습니다.
고유벡터 구하기를 예제를 통해 실제로 살펴보면서 과정을 이해해보았습니다. 이를 통해 선형 변환의 특성과 문제 해결에 대한 이해도를 향상시킬 수 있습니다.
위의 블로그 글은 고유벡터 구하기에 대한 개념과 과정을 이해하기 쉽게 설명하였습니다. 선형 대수학에 대한 기본적인 이해가 있는 독자라면 손쉽게 따라갈 수 있을 것입니다. 예제를 통해 실제 구하는 과정을 보여주어 직관적으로 이해할 수 있도록 하였습니다. 고유벡터의 중요성과 응용분야에 대해서도 언급하여 독자들이 흥미를 느끼고 도움을 받을 수 있도록 하였습니다. 이 글을 통해 고유벡터에 대한 이해도를 높일 수 있기를 바랍니다.