고유값 중근
선형 대수학에서 고유값 중근은 행렬의 고유값 중에서 중복되는 값을 가지는 경우를 말합니다. 만약 행렬 A가 nxn 행렬이고 λ가 A의 고유값이며 이에 대한 고유 벡터가 v라고 할 때, A에서 고유값 λ에 대한 고유 벡터들의 집합 V는 행렬 A의 고유 벡터공간의 기저를 형성합니다.
고유값 중근은 여러 가지 형태로 나타날 수 있습니다. 예를 들어, 중근이 곱으로 표현될 수도 있고, 행렬을 대각화하는 과정에서 중근이 포함될 수도 있습니다.
중근 대각화
중근 대각화는 행렬을 대각화하기 위해 사용되는 기법 중 하나입니다. 대각화를 위해서는 행렬이 일부 제약조건을 만족해야 하는데, 그 중 하나가 중근의 개수입니다. 만약 행렬이 중근을 가지고 있다면 중근 대각화를 사용하여 대각화할 수 있습니다.
중근 대각화를 수행하기 위해서는 다음과 같은 단계를 따릅니다:
- 고유값 중근을 검사합니다. 고유값 중근은 행렬의 고유 다항식에서 고유값의 중복을 의미합니다. 중복된 고유값을 얻으면 그에 해당하는 고유 벡터들을 구합니다.
- 중복된 고유값에 대한 고유 벡터들의 집합 V를 구합니다. 이 고유 벡터들은 행렬의 고유 벡터 공간의 기저를 형성합니다.
- 중복된 고유값에 대한 고유 벡터들의 집합 V를 행렬 P의 열 벡터로 이루어진 행렬로 정의합니다.
- 정방행렬 P와 대각 원소로 이루어진 대각행렬 D를 찾습니다. 여기서 D의 대각 원소는 중복된 고유값을 기준으로 정렬됩니다.
- A = PDP-1 공식을 사용하여 행렬 A를 대각화합니다.
중근 대각화를 통해 행렬을 대각화하면 고유 벡터를 열 벡터로 갖는 행렬이 생성되고, 이를 사용하여 행렬의 거듭제곱이나 상승 연산과 같은 계산을 더욱 간단하게 수행할 수 있습니다.
예제
다음은 중근 대각화의 예제입니다:
주어진 행렬 A = [[1, 4], [2, 1]]의 고유값 중 하나인 λ = 1은 중근입니다. 이에 대한 고유 벡터는 다음과 같이 구할 수 있습니다:
행렬 A - λI를 계산하면 [[0, 4], [2, 0]]가 됩니다. 이를 행렬 식 Ax = λx로 바꾸면 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
Ax = λx
[[1, 4], [2, 1]]x = 1x
여기서 우리는 다음을 얻을 수 있습니다:
[[0, 4], [2, 0]]x = 0
이제 위의 식을 만족하는 벡터 x를 찾아야 합니다. 이는 x = [1, 0] 또는 x = [2, 1]과 같이 무한한 개수의 해를 가질 수 있습니다. 따라서 λ = 1에 대한 고유 벡터의 집합 V는 다음과 같습니다:
V = {[1, 0], [2, 1]}
이제 이 고유 벡터들을 정규화하고 행렬 P를 구성할 수 있습니다:
P = [[1/√5, 2/√5], [0, 1/√5]]
행렬 P의 역행렬을 계산하면 다음과 같습니다:
P-1 = [[√5/2, -2/√5], [0, √5]]
마지막으로 대각행렬 D를 구성하면서 중복된 고유값을 고려해야 합니다:
D = [[1, 0], [0, 1]]
이제 PDP-1을 계산하여 A를 대각화할 수 있습니다:
A = PDP-1 = [[1/√5, 2/√5], [0, 1/√5]] [[1, 0], [0, 1]] [[√5/2, -2/√5], [0, √5]] = [[1, 4], [2, 1]]
따라서 주어진 행렬 A는 중근 대각화를 통해 A = [[1, 4], [2, 1]]로 대각화할 수 있음을 알 수 있습니다.